Integração por Substituição Trigonométrica
Assim como para a derivação, existem diversas formas de facilitar a integração de funções e é conveniente escolhermos a melhor entre elas. Um dos métodos que pode auxiliar é aquele por substituição trigonométrica.
Suponha que o integrando seja da seguinte forma:
Se fizermos teremos:
.
O fator x impede que a Regra da Substituição convencional nos ajude a resolver o problema. Em casos semelhantes a esse utilizamos a Substituição Trigonométrica, que, basicamente, consiste em substituir uma função algébrica por uma trigonométrica e utilizar identidades que podem facilitar o cálculo da integral.
Agora é a sua vez! Clicando na figura você encontrará novos exercícios para aprofundar seu conhecimento. Além disso, encontrará o gabarito para que confira suas respostas.
Exercícios propostos
Nota de aula
Exercícios resolvidos
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Clicando na figura você encontrará o arquivo que contém os teoremas e os exemplos mostrados no minicurso, podendo auxiliar em uma revisão do assunto e na resolução dos exercícios propostos.
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Lista de inscritos
Cálculo, vol I, James Stewart
O livro trata de integração por substituição trigonométrica na seção 7.3. O tema é abordado brevemente e é fornecida uma tabela indicando como as substituições devem ser feitas. Em seguida vários exemplos são apresentados.
Ao final da seção uma vasta lista de exercícios é disponibilizada. Em sua maioria as questões são de aplicação direta do método. As respostas daquelas com numeração ímpar são encontradas nas últimas páginas do livro.
Em resumo, o texto atende às necessidades de quem procura o assunto pela primeira vez, assim como de quem busca apenas uma revisão.
STEWART, J. Cálculo, vol.1, 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2006.
Indicação de livros
Algo importante para nos ajudar a compreender um assunto é encontrar um material de estudos que o explane de forma que consigamos entender. Cada pessoa tem sua própria forma de aprender e o que adequado para uns pode não ser para outros. Abaixo apresentamos alguns livros que contêm o assunto em questão e damos algumas informações sobre eles que podem ajudar o leitor a escolher aquele que seria melhor para seus objetivos.
Cálculo, vol. 1, George B.Thomas
Este livro aborda integrais com trigonometria no oitavo capítulo, onde dedica a seção 8.4 para integrais trigonométricas e a 8.5 para substituições trigonométricas. Na primeira é mostrado como resolver integrais de produtos de potências de senos e cossenos, como eliminar raiz quadrada usando identidades trigonométricas e como integrar potências de tangente e de secante. Na segunda é feita uma ampla utilização das identidades trigonométricas para a simplificação das integrais. Ao final das seções temos respectivamente 46 e 52 exercícios, parte deles de aplicação direta dos métodos e parte contextualizados.
WEIR, M., HASS, J., GIORDANO, F. R. Cálculo, vol. 1,11 ed. São Paulo: Pearson. 2009.
Física, Matemática e Química: um modelo interdisciplinar, vol 3, João Cardoso Pereira Netto
A integração por substituição trigonométrica está na seção 16.16 deste livro, onde são usados triângulos retângulos para explicar a forma conveniente de fazer a mudança de variável necessária. O conteúdo é apresentado de forma bastante direta e em seguida são trabalhos exemplos aplicados à Física.
Não há uma lista de exercícios propostos especificamente para este assunto. Eles estão distribuídos entre os outros do capítulo, os quais são separados de acordo com a área de aplicação. Não é disponibilizado o gabarito.
PEREIRA NETTO, J. C. Física, Matemática e Química: um modelo interdisciplinar, vol. 3. São Paulo: Editora e Gráfica Brasil, 2008.
Um Curso de Cálculo, vol. 1, Hamilton Luiz Guidorizzi
A integração por substituição trigonométrica aparece na seção 12.4, onde é trabalhada a mudança de variável. Após uma breve introdução, são apresentados diversos exemplos sobre a técnica. Diferente de outros autores, este não usa o triângulo retângulo como um meio de estabelecer as relações usadas nos cálculos.
Vários exercícios são oferecidos ao final da seção. O gabarito é disponibilizado no final do livro.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, vol. 1, 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
